mercredi 20 juin 2012

COMMENT S'EXPRIME UN RÉSULTAT DE MESURE ?



Une mesure se traduit nécessairement par un nombre. Celui-ci, en physique, ne comporte que quelques chiffres significatifs. 

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II
Obtenir un résultat de mesure est l'aboutissement d'un long cheminement.
Au départ, le scientifique se sert de théories. Constructions logiques fondées sur des principes et des idées, ces théories utilisent le langage formel des mathématiques. Elles consistent toujours à écrire, développer et résoudre des équations. Ces dernières traduisent des relations entre nombres, même si elles ne les explicitent pas. Le formalisme mathématique permet en effet de traiter non pas les nombres eux-mêmes mais des images symboliques de ces nombres, chaque symbole représentant à lui seul l'ensemble des valeurs numériques potentielles que peut prendre la quantité désignée. Ce formalisme, dans son aspect préliminaire, peut fort bien contenir des quantités purement abstraites, par exemple des nombres « imaginaires », des vecteurs, des tenseurs et autres personnages du bestiaire mathématique.
En revanche, dans la phase expérimentale qui suit le développement de la théorie et au cours de laquelle s'établit le contact avec la réalité, la grandeur physique étudiée deviendra grandeur mesurée pour se traduire concrètement par un nombre, fruit ultime du rapport entre la théorie et le réel. Cette règle ne souffre pas la moindre exception. Une théorie physique, sous peine de stérilité et d'inadéquation au monde qu'elle cherche à comprendre, doit toujours se traduire par une expérience concrète, laquelle consiste toujours à effectuer une ou plusieurs mesures. Et une mesure fournit comme résultat un nombre. De l'autre côté, ce n'est que lorsque les hommes ont traduit en nombres leurs observations que celles-ci, auparavant muettes, ont permis à la science de naître. La conclusion est à conserver précieusement en mémoire : sans le quantitatif, sans la mesure, sans le nombre, la découverte du monde réel est impossible.
Examinons maintenant ces nombres, en nous attardant sur leur partie décimale. On sait qu'un nombre décimal est une suite de chiffres dans laquelle se distingue un signe particulier, la virgule (ou le point, en notation anglo-saxonne), signe qui, servant de repère, permet d'assigner un rang à chacun de ces chiffres. En oubliant les zéros les plus à gauche qui ne servent qu'à indiquer le rang du premier chiffre non nul (comme les premiers "0" de 0,0000637), arrêtons-nous à la suite des chiffres significatifs elle-même, qui porte le nom de « mantisse ». Observons une différence essentielle entre les nombres des physiciens et les nombres des mathématiciens. Alors qu'en mathématiques le nombre de chiffres composant cette mantisse est souvent illimité (par exemple 0,657657657... avec les mêmes chiffres répétés à l'infini; ou encore la suite infinie 1,414213... représentant la racine carrée de 2), en physique il est toujours restreint. Pour fixer les idées, le nombre de chiffres utiles, ou significatifs, d'un nombre physique est en général limité à 6 ou 7. Seuls ces quelques chiffres veulent dire quelque chose, mesurent quelque chose : au-delà, la précision que d'autres prétendraient apporter serait illusoire.
Que traduit cette limitation ? Tout nombre physique est entaché d'une certaine erreur qui interdit de lui assigner une valeur parfaitement (c'est-à-dire mathématiquement) déterminée. La seule chose que l'on puisse dire, c'est que le nombre cherché se situe dans une certaine fourchette de valeurs. Mais, à l'intérieur de cette fourchette il est absolument impossible de préciser où il se trouve exactement car la notion de perfection absolue est étrangère au réel. Par conséquent, il est impossible d'exprimer un résultat de mesure à l'aide d'un seul nombre. En principe, la seule façon correcte de procéder serait d'indiquer l'intervalle limité (mais non nul) dans lequel le nombre est censé se trouver. Pour ce faire il est nécessaire de donner la borne inférieure et supérieure de l'intervalle, ou encore sa position et son étendue, ce qui implique l'usage de deux nombres et non d'un seul.
Cette remarque d'apparence anodine est d'une portée considérable et pourrait peut-être, si on la poussait jusqu'à son terme, révolutionner la physique moderne. Laurent NOTTALE a jeté les bases d'une théorie nouvelle qui semble extrêmement féconde en refusant de considérer une grandeur dans l'absolu et en incluant au contraire au tout début de l'analyse la résolution avec laquelle la quantité est définie. C'est dire le caractère essentiel de l'« échelle » à laquelle une grandeur est attachée. La théorie de Laurent Nottale porte d'ailleurs le nom de « relativité d'échelle ».
Si la résolution avec laquelle telle grandeur physique est connue (et connaissable) est en principe indispensable à préciser, en pratique c'est justement le caractère limité du nombre de chiffres significatifs utilisés qui signalera d'elle-même, et d'une façon commode, la marge d'erreur existante. Prenons un exemple. Si la masse de l'électron est donnée par la séquence 9,109 3897 (sans préciser ici l'unité choisie, car c'est sans importance pour notre propos) cela implique que les chiffres situés au-delà de ces huit premiers sont indéterminés. D'après le document que j'ai consulté pour donner cette valeur numérique, une incertitude de 54 unités règnerait sur le dernier chiffre. Cela veut dire que les trois derniers chiffres ne sont pas exactement 897 mais sont quelque part entre (897-54=843) et (897+54=951). La masse de l'électron est donc comprise (toujours dans les mêmes unités) entre 9,109 3843 et 9,109 3951 sans qu'il soit possible de savoir où elle se situe réellement.
Je pense d'ailleurs que l'expression « se situer réellement » n'a même pas de sens. Selon la thèse que je défends, la masse (et le raisonnement serait valable pour tout autre grandeur physique) symbolique de nos équations n'a pas de raison de se retrouver à l'identique dans la nature avec une valeur numérique parfaitement définie. Nous allons voir que l'incertitude régnant sur la mesure montre que la nature ne se laisse pas si facilement réduire à nos modèles. 



L'exactitude ultime d'une mesure ou de la valeur supposée d'une grandeur physique est une qualité inaccessible. Responsable ? L'incertitude. 

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II
Les sources d'incertitude dans une mesure sont de trois ordres.
La première est d'origine expérimentale et conduit à ce que l'on appelle les erreurs de mesure. Celles-ci sont liées aux conditions concrètes de l'expérience, jamais idéales et comportant inévitablement un certain nombre de facteurs impondérables agissant au hasard et impossibles à maîtriser de façon parfaite. Plus profondément, ces facteurs contingents prouvent l'impossibilité radicale de réaliser l'expérience « idéale » (c'est-à-dire finalement imaginaire) dont se réclame la théorie. Par exemple l'étude de la chute des corps exige que ceux-ci tombent dans le vide, alors que l'expérience concrète se déroulera forcément dans l'air, raréfié certes au maximum pour se rapprocher des conditions idéales, mais non inexistant. L'expérience idéale est un concept abstrait, pas un événement concret. Les conditions matérielles sont inhérentes au monde dans lequel nous vivons.
La deuxième source d'incertitude est de nature peut-être encore plus fondamentale. Elle est liée à la définition même de la grandeur à mesurer, toute définition finissant par perdre sa signification au-delà d'un certain stade lorsqu'on descend sur l'échelle du plus petit à la recherche d'une plus grande précision (ou résolution). Un exemple va nous aider à comprendre cette idée. Supposons que je veuille mesurer la longueur d'une table. À un centimètre près, pas de problème. Nous trouverons, mettons, 122 cm et nous exprimerons donc le résultat avec trois chiffres significatifs. Mais à un millimètre, ou un dixième de millimètre près ? La longueur de la table dépendra de l'endroit choisi pour la mesurer car à cette précision les bords ne seront sans doute ni rectilignes ni parallèles, de sorte que le concept de « longueur de table » demandera à être redéfini en tenant compte de cet élément nouveau. On pourra s'affranchir de ces difficultés, mais on en rencontrera d'autres à coup sûr, telles par exemple que la dilatation ou la contraction du matériau sous l'effet des variations de température de la pièce. On se rappelle à ce propos le luxe de détails qu'il fallait préciser dans la définition légale du mètre avant 1961, lorsqu'elle était basée sur l'étalon déposé au bureau des poids et mesures de Sèvres.
Supposons franchies avec succès un certain nombre d'étapes au cours desquelles il aura fallu, à chaque fois, affiner ou modifier la définition initiale. Nous voici maintenant à l'échelle atomique (avec la bagatelle de plus d'une dizaine de chiffres significatifs !). À ce moment, le concept de « longueur de table », même remanié plusieurs fois, deviendra totalement caduc car nous en arrivons maintenant à mesurer les dimensions d'un atome et non plus celles d'un système macroscopique solide. Le problème est donc tout autre que celui posé au départ. Le concept même de « table » se révèle inadéquat à cette échelle car il et impossible de définir en toute rigueur l'ensemble des atomes appartenant à cette table et l'ensemble des atomes extérieurs, ne serait-ce que parce qu'un échange perpétuel de matière se produit entre ces deux ensembles, insaisissables l'un comme l'autre. En fin de compte, la notion de « longueur de table » qui paraissait claire à l'origine aura fini par se vider de sa signification première.
Il ne faudrait pas croire pour autant que la précision règne dans le domaine atomique où nous pourrions enfin cerner des objets élémentaires, bien isolés, insécables, et rencontrer enfin des grandeurs plus « exactes » susceptibles d'être définies et mesurées de façon rigoureuse. En vérité la situation y est encore pire car nous tombons ici sur la troisième cause d'incertitude, de nature encore plus fondamentale et irréductible que les précédentes. En effet, on découvre en mécanique quantique, cette partie de la physique qui étudie le monde atomique, que la science ne peut décrire ce dernier qu'en termes de concepts probabilistes ouvrant une large part au hasard et à l'imprévisible. Dans ces conditions, c'est la notion même de mesure, et avec elle d'exactitude dans la mesure, qui est remise en cause. L'incertitude est cette fois présente au coeur même de la théorie en faisant partie intégrante du formalisme utilisé.
La notion d'erreur heurte l'idée que l'on se fait couramment de la science, réputée exacte dans son appréhension du réel. Certaines objections pourraient donc se présenter à l'esprit de ceux qui font confiance à cette réputation. Essayons d'y répondre pour dissiper des sources possibles de malentendus.
En premier lieu, rappelons que les nombres impliqués dans la discussion sont bien ceux qui caractérisent des grandeurs physiques, qui expriment une mesure ; bref, qui se rapportent au réel. Je n'inclus pas les nombres sur lesquels agissent les calculs auxiliaires, qui se comportent différemment. On peut en distinguer deux sortes. Il y a d'une part les nombres qui interviennent dans le développement formel de la théorie. Ceux-là peuvent être considérés comme exacts puisque le calcul analytique manipule des nombres mathématiques et théoriques. Puis il y a ceux qui sont utilisés dans le courant des calculs numériques, que ceux-ci soient faits à la main, sur calculette ou ordinateur. Là il pourra s'avérer utile, voire indispensable, de conserver une quantité importante de chiffres significatifs, par exemple dans certains cas critiques une vingtaine, une trentaine ou même plus. En effet, une autre question se pose dans les calculs numériques, une question de précision liée à la longueur de nombre requise pour l'obtention d'une réponse correcte lors d'opérations numériques, la plus délicate d'entre elles étant d'ailleurs la soustraction. Soulignons cependant que si par hasard les calculs nécessitent des nombres très longs, en revanche, dans le résultat final relatif à la grandeur physique à trouver, ne seront significatifs que les quelques premiers chiffres obtenus et non pas l'ensemble des chiffres calculés par la machine qui par leur abondance pourraient donner l'illusion d'une précision plus grande.
Deuxième remarque : les formules des théories ne souffrent pas de l'imprécision que nous discutons ici. Si la loi de l'attraction universelle a la forme de l'inverse du carré d'une distance r et varie donc comme (1/r)2, l'exposant 2 que nous voyons apparaître et qui exprime le « carré » de r est à prendre exactement. Il ne s'agit pas de 2 au milliardième près par exemple : il s'agit de 2 absolument. Ce point est capital car il nous amène à opérer une distinction entre les domaines scientifiques où règne l'exactitude et ceux où règne l'imprécision, cette distinction constituant justement mon sujet de réflexion. Dans ses développements théoriques la physique est toujours exacte, et même rigoureusement exacte, tandis qu'au niveau de l'application au concret, au niveau de l'expérience, elle est toujours imprécise. Si la théorie a pour trait l'exactitude parfaite, le réel possède quant à lui la qualité du « flou ».
Troisième remarque : on rencontre des nombres qui traduisent de simples conventions, notamment à propos d'unités. Ils peuvent être également considérés comme exacts, puisqu'arbitraires. La nouvelle définition du mètre, qui part de la donnée conventionnelle de la vitesse de la lumière à 299 792 458 mètres par seconde, fait intervenir un nombre de 9 chiffres qu'il nous est loisible (mais inutilement !) de considérer comme un entier non affecté d'imprécision. Nous sommes en présence d'un simple facteur de conversion entre deux unités physiques, durée et distance (temps et espace), équivalentes depuis que la théorie de la relativité a doté la vitesse de la lumière d'un statut de référence universelle. Dans la première définition du mètre, comme la dix-millionième partie du quart de la longueur du méridien terrestre, le « dix-millionième » et le « quart » étaient tout aussi arbitraires et, partant, pouvaient être également tenus pour des quantités exactes.
Signalons enfin l'intervention en mécanique quantique d'indices destinés à repérer (c'est-à-dire à classer dans un certain ordre) des fonctions mathématiques attachées aux systèmes étudiée. Ces indices sont souvent appelés nombres quantiques mais, malgré cette dénomination, ne sont certainement pas des nombres mesurant des quantités physiques. Ils prennent des valeurs entières (1, 2, ...) ou rationnelles (1/2, 3/2, ...). Simples signes indicatifs, ils ne sont pas victimes de cette inexactitude propre aux mesures des vraies grandeurs physiques telles que masse, distance, durée, énergie, charge électrique.
L'incertitude constitue un élément essentiel de la relation entre la théorie et la réalité. Précieux dans notre discussion, ce trait est l'indice, parmi d'autres preuves, que le monde ne s'identifie pas aux modèles que la science en donne.


Pour représenter les nombres physiques on utilise l'échelle des puissances de dix (dite aussi échelle « logarithmique »). Sur cette échelle ces nombres ont l'air tout petits. 

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II
Les nombres que le physicien récolte dans la nature soulèvent d'emblée un problème : leurs ordres de grandeurs se révèlent si différents qu'il est impossible de les exprimer tous par des nombres décimaux de taille réduite (disons de quelques chiffres). Si un certain choix d'unité (par exemple le kilomètre) convient pour telle grandeur (la distance entre deux villes), cette même unité se révèlera inadéquate pour une autre, en fournissant des nombres ou trop grands ou trop petits. Comment mesurer à la fois, par exemple, l'Univers astronomique et l'électron ? Comment trouver une commune mesure aux deux ? La difficulté vient d'une différence de proportions : le rapport des dimensions de l'Univers à celle de l'électron est si grand qu'il dépasse l'échelle sur laquelle nous comptons de façon très élémentaire en énonçant un nombre après l'autre, 1, 2, 3, 4, etc. En d'autres termes, on ne peut pas construire les dimensions de l'Univers directement à partir de celles de l'électron, en les ajoutant un nombre convenable de fois (au temps des bizutages, on demandait aux étudiants de mesurer la largeur de la place de la Concorde avec une allumette !).
Les dimensions de l'Univers ne peuvent pas se ramener à celles de l'électron par additions successives.
Bien entendu, le physicien n'en est pas resté à ce constat d'échec. S'il s'était contenté de qualifier tel rapport de « considérablement grand », d'« astronomique », d'« infiniment grand » ou d'« incommensurable », il aurait abdiqué toute chance de communiquer avec le monde réel puisque sa démarche d'appréhension de la réalité passe forcément par la mesure. Il lui fallait imaginer une échelle de mesure sur laquelle il puisse à nouveau compter. Il inventa donc l'échelle « logarithmique » (ce mot, forgé à partir du grec signifie « mesure des rapports »), dont l'un des aspects, notamment dans le contexte qui nous intéresse ici, est constitué par l'échelle des puissances de 10.
Cette échelle des puissances de 10 est contenue dans la notation décimale, qui, dans le fond, résout en partie le problème posé, à savoir de représenter un nombre sans se contenter de juxtaposer des unités, comme on alignerait des allumettes les unes à côté des autres.
La notation romaine, qui se contentait d'accoler des signes numériques les uns aux autres, se révéla absolument incapable de représenter les nombres que réclamait l'étude rationnelle du monde. La nouveauté géniale de la notation décimale (qui allait permettre le développement de la science) est de reconnaître pour un même chiffre le pouvoir de représenter des ordres de grandeur différents selon le rang qu'occupe le chiffre en question. C'est la virgule qui permet d'attribuer son rang à chaque chiffre. Par convention, le premier chiffre avant la virgule indique les unités, le second en remontant vers la gauche indique les dizaines (une dizaine est dix unités), puis ce sera le rang des centaines (une centaine est dix dizaines) et ainsi de suite. Un décalage d'un rang vers la gauche correspond à la « puissance » de dix immédiatement supérieure (c'est-à-dire représentant des nombres dix fois supérieurs à ceux de l'ordre précédent).
Les chiffres qui suivent la virgule vers la droite correspondent successivement aux dixièmes (dixièmes d'unités), aux centièmes (dixièmes de dixièmes), aux millièmes (dixièmes de centièmes), et ainsi de suite en passant cette fois à un ordre de grandeur dix fois plus petit à chaque décalage à droite.
Cependant, une difficulté demeure : au fur et à mesure que l'on construit des nombres de plus en plus grands, ou de plus en plus petits (en rajoutant des zéros à droite de la virgule), il est nécessaire d'utiliser de plus en plus de chiffres, ce qui conduit à des nombres de taille encore imposante, ce que précisément nous voulions éviter.
L'idée est de simplifier la notation précédente en mettant à profit la notion de « puissance de dix » que nous allons découvrir. On réalisera vite sur les exemples suivants ce qui est peu économique dans la notation décimale. Dans le nombre 0,000 000 003 24, on compte neuf zéros qui ne servent qu'à dire que le chiffre par lequel commence le nombre, ici le 3, occupe le neuvième rang. Dans le nombre 773 980 000 000 000,0 le premier chiffre, 7, occupe le quinzième rang à gauche de la virgule. Ce qui est peu efficace dans cette notation, c'est cette obligation de repérer le rang d'un chiffre en allant jusqu'à la virgule, à droite comme à gauche d'ailleurs. Du même coup on se voit obligé d'introduire des chiffres parasites, notamment des zéros supplémentaires.
La notation scientifique s'affranchit de ce gaspillage de chiffres en indiquant tout simplement en clair le numéro d'ordre du chiffre dont il faut repérer l'ordre. Par convention les unités  ont pour rang 0, les dizaines le rang 1, et ainsi de suite. À droite de la virgule, pour les puissances inférieures à l'unité, on utilise des rangs « négatifs » que l'on affecte du signe « - ». Les dixièmes auront pour rang -1, les centièmes -2, etc. Dans les exemples précédents le rang du premier chiffre non nul (à savoir le 3) était -9 dans le premier cas. Le rang du premier chiffre (à savoir 7) était +14 dans le second exemple (la première place a pour rang 0, donc la quinzième aura pour rang 14).
Ce numéro d'ordre, la puissance de 10, est noté de façons différentes selon les moyens d'affichage dont on dispose. Normalement on place cette puissance en exposant du nombre 10, comme dans 10+14 ou 10-9, mais la ligne supplémentaire ainsi introduite peut créer des difficultés typographiques (dans un document lu sur le web, cette difficulté n'est pas mineure). Dans de nombreux cas l'exposant doit être placé sur la même ligne que la mantisse et pour le distinguer du reste on utilise des moyens variés, par exemple en l'enserrant dans des parenthèses, comme dans « 4,563(11) », ou en le faisant précéder d'un caractère non numérique (E, e ou simplement + ou -), comme dans « 3,998E17 » ou « 7,31e-22 », etc. Quand on le peut, il est assez commode de conserver la notation classique, pour écrire des nombres tels qu 2,80051×107 ou 4,80123×10-17, cette forme indiquant donc dans le premier cas que le rang du premier chiffre est 7 en partant de la virgule (en comptant toujours à partir de 0 !) et dans le deuxième cas que le premier chiffre non nul après la virgule a pour rang 17. On remarque que 10n c'est 1 suivi de n zéros et que 10-n, c'est 1 précédé de n zéros (en comptant celui que l'on place avant la virgule). Ainsi 105 c'est 100 000 et 10-4 c'est 0,0001.
L'échelle des puissances de dix a une propriété fondamentale : à une multiplication sur les puissances correspond une addition sur les exposants et à une division de ces mêmes puissances correspond une soustraction des exposants. C'est cette propriété qui a la vertu de réaliser la formidable réduction d'échelle dont le physicien avait besoin tout à l'heure et qui se produit lorsqu'on passe des nombres eux mêmes, à savoir les puissances de dix, à leurs exposants. Ainsi 100, 1 suivi de deux 0, donc 102 (qu'on lit « 10 puissance 2 ») est bien 10 fois 10, mais sur les exposants, l'opération de multiplication 10×10 se traduit pas l'addition 1+1=2. Et 100 fois 100, ou 10 000, un nombre déjà appréciable, ne se traduit que par l'exposant 2+2=4 : 10 000, c'est 104. Cette échelle des exposants de 10 (dite logarithmique, car dans une théorie complète 4 est le logarithme de 104), peut se visualiser comme une véritable « échelle » sur les barreaux de laquelle nous nous déplacerions, montant et descendant pour, respectivement, multiplier et diviser. C'est grâce à elle que les physiciens peuvent mesurer les nombres en traduisant numériquement d'une façon convenable les ordres de grandeur extraordinairement différents auxquels ils se trouvent confrontés.
Le plus remarquable, c'est que sur cette échelle logarithmique des exposants, on puisse compter pour ainsi dire « sur les doigts de la main » car ces exposants restent parfaitement raisonnables et susceptibles même d'être visualisés en alignant (si on le désirait) des allumettes, ce qui était rigoureusement impossible pour les nombres eux-mêmes.
Plus concrètement, il est utile de retenir que, grosso modo, les exposants de 10 sont en physique des nombres de deux chiffres seulement. Ce qui revient à dire que sur notre échelle logarithmique, il suffit de compter de 1 à 99, et, dans l'autre sens, également de -1 à -99. Je ne manque pas de souligner ce fait incontestable à l'intention de certains scientifiques qui se permettent, de façon complètement illégitime, de parler d'infini en physique, notamment à propos de l'Univers : ils sortent manifestement des limites concrètes du monde réel.
Amusons-nous, pour illustrer le principe d'addition des exposants lors de multiplications, à « compter » le nombre d'atomes dans tout l'Univers, l'un des plus grands nombres que la physique connaisse. Une étoile a une masse de l'ordre de 1033 grammes. Sachant que chaque gramme de cette matière contient environ 1024 atomes, le nombre total d'atomes dans l'étoile sera obtenu en multipliant entre eux les deux nombres précédents, ce qui donne 1057, en ayant ajouté les exposants (33+24=57) (ou en montant 24 barreaux de l'échelle à partir du 33ième). Combien y a-t-il d'étoiles dans une galaxie ? Mettons 10 milliards en moyenne, 1010. Pour faire les multiplications voulues, nous continuons à additionner les exposants : 57+10=67. Donc 1067 atomes par galaxie. Combien de galaxies dans l'Univers ? Peut-être 1011 ou 1012. Nous en arrivons à quelque 1079. Parlons en chiffres ronds, la valeur « exacte » (si tant est que cela ait un sens) important peu et seule comptant l'illustration d'un principe de calcul : le nombre d'atomes dans tout l'Univers se mesure par l'exposant 80, par seulement 80 ! Certes, il s'agit d'un logarithme, c'est-à-dire d'un numéro d'ordre, d'un exposant, mais tout de même c'est peu. Alors que le nombre en question, « 1080 », est proprement inconcevable et impossible à construire à partir de la juxtaposition de nombres à notre échelle humaine, sa représentation en puissances de 10 semble toute petite.
Cette commodité à deux aspects contradictoires. D'une part, il faut saluer la force de la science qui a réussi à mesurer, et de ce fait à mettre en quelque sorte à notre portée, un nombre qui dépasse l'imagination. Mais d'autre part, il faut de méfier de cette facilité ainsi introduite car elle entraîne qu'on peut trop facilement quitter l'échelle réelle en jouant inconsidérément avec les exposants. Par exemple, une puissance de 10 dont l'exposant frise le milliard ne peut avoir aucun rapport avec une grandeur physique. Ainsi une distance de 101 000 000 000secondes de lumière ne peut pas correspondre à une longueur réelle.
Indiquons en passant que les logarithmes ne se limitent pas aux seuls exposants de 10, donc aux seuls barreaux de l'échelle, mais qu'entre ces nombres, entiers donc, se glissent tous les nombres intermédiaires possibles (c'est-à-dire l'ensemble des réels). De cette sorte, il est possible d'associer à tout nombre, même s'il n'est pas une puissance de 10 « toute ronde » comme 1013 ou 10-17, son propre logarithme. Nous verrons ailleurs des exemples d'utilisation.
À l'époque des calculettes, il est facile de se faire une idée disons expérimentale de l'échelle logarithmique en jouant avec les touches adéquates. Vous remarquerez à ce propos, en examinant votre calculette, qu'on utilise couramment deux sortes de logarithmes et de puissances (il en existe autant de sortes qu'on veut en principe), les logarithmes à base 10, décimaux, dont nous venons de parler, et souvent notés « log » ou « log10 », et les logarithmes dits népériens (du nom de John Napier ou Neper) ou naturels, et notés « Log » ou « Ln ». Ces logarithmes correspondent respectivement aux puissances de 10 (touche « 10x » en général) et aux puissances d'un nombre mathématique désigné universellement par la lettre « e », puissances appelées exponentielles (à base e) et calculables grâce à la touche « ex » selon l'identification la plus courante.
Résumons. Les nombres physiques se situent sur des échelles de grandeur si différentes qu'ils sont inimaginablement grands ou petits. Cependant sur l'échelle des puissances de 10, on peut les domestiquer et effectuer des calculs sur des exposants de deux chiffres seulement.



Le zéro et l'infini, concepts mathématiques, ne se trouvent pas sur l'échelle des nombres physiques. 

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II
L'échelle logarithmique est l'échelle sur laquelle les physiciens mesurent leurs nombres. Examinons ses propriétés significatives, susceptibles de nous éclairer sur la nature des relations entre la théorie et la réalité.
L'une des premières questions est la suivante : quelle est l'étendue de l'intervalle sur lequel varie un logarithme ? Théoriquement parlant, dans une optique disons mathématique qui ne se soucie pas de la réalité, la réponse est claire : un logarithme varie sur un intervalle illimité, illimité et « vers la droite » et « vers la gauche », en convenant de visualiser cet intervalle par une droite horizontale. Cela signifie qu'on peut toujours construire dans l'abstrait un logarithme plus grand que n'importe quel autre déjà arbitrairement grand. Il suffit pour cela, par exemple, de rajouter une unité à celui que l'on veut dépasser. De même on pourra toujours fabriquer un logarithme plus petit qu'un autre, aussi petit que soit ce dernier, en lui retranchant par exemple une unité. Dans ce dernier cas, il est bon de préciser le sens de « plus petit ». J'entends ici « plus petit » au sens algébrique, au sens où le nombre négatif -67 est plus petit que le nombre -50. Mais comme il s'agit de nombres négatifs, on remarque que ces nombres algébriquement de plus en plus petits sont de plus en plus grands en valeur absolue (67 est plus grand que 50). De la sorte, si on met à part le signe du logarithme, + ou -, on trouve bien des deux côtés de l'échelle des nombres qui deviennent aussi grands que l'on veut.
On résume ces résultats en disant qu'un logarithme varie entre - et +, ce qui se lit « entre moins l'infini et plus l'infini ». Attention cependant : l'expression peut vraiment prêter à confusion car elle semble impliquer que l'infini (noté ) serait un nombre accessible. Or ce n'est pas le cas : l'infini n'est même pas un nombre (sinon, ce ne serait plus l'infini !) et donc le problème de l'atteindre ou non ne se pose pas. L'infini est un concept mathématique dont la signification (évoquée ci-dessus) est, en ce qui nous concerne ici, très simple. En effet dire qu'une variable peut tendre vers l'infini (on parlera par abus de langage d'une variable infinie) veut dire que quelle soit la limite que l'on se fixe arbitrairement, disons le nombre A, la variable pourra prendre une valeur supérieure à A, par exemple A+1 ou 2×A. Remarquons précieusement que cette nouvelle valeur, si grande soit elle, sera forcément un nombre fini !
L'infini n'est pas un objet qui se situerait à la frontière d'un intervalle « infini ». C'est seulement la propriété de cet intervalle telle que nous venons de la définir.
Une autre caractéristique importante de l'échelle logarithmique réside en sa symétrie. Comme l'échelle s'étend d'un côté de 0 à - et de l'autre de 0 à +, à tout logarithme correspondra un logarithme de même valeur absolue mais de signe contraire : par exemple au logarithme 4,5467 du côté des valeurs positives sera associé -4,5467 du côté négatif. Propriété fondamentale de l'échelle : à ces deux logarithmes opposés se rapporteront sur l'échelle des puissances deux nombres inverses l'un de l'autre, tous les deux positifs, l'un supérieur à 1, l'autre inférieur à 1. Ainsi dans l'exemple choisi,104,5467 est, d'un coup de calculette (touche « 10x »), 35 212,754 59. alors que 10-4,5467 est l'inverse 1/35 212,754 592, soit 2,839 880 071×10-5.
Que les réfractaires aux calculs se rassurent ! Ils peuvent oublier les détails de ce qui précède et passer à l'essentiel sans ennui.
Ce qu'il faut retenir, c'est que d'un côté on trouve tous les nombres inférieurs à 1 (mais restant positifs, donc compris entre 0 et 1) dotés de logarithmes négatifs et de l'autre les nombres supérieurs à 1 dotés de logarithmes positifs. Le pivot de l'échelle est donc, chose essentielle, 1 pour les nombres à mesurer et 0 pour les logarithmes correspondants. On remarque que les puissances (c'est-à-dire les nombres à mesurer) sont toujours positives, ce qui revient à dire que sur l'échelle logarithmique on ne peut que mesurer des nombres positifs. Vous vérifierez facilement ce fait : la fonction 10x ou exfournit toujours un résultat positif, quelle que soit la valeur et quel que soit le signe de x. En sens inverse, si vous essayez de calculer le logarithme d'un nombre négatif, votre calculette scientifique - à moins qu'elle n'introduise des nombres complexes - affichera une erreur et refusera de faire un calcul impossible. Tout cela est naturel : un vrai nombre, au sens où nous l'entendons ici pour désigner l'entité qui traduit une mesure physique, ne peut être que positif, justement. Ce que l'on appelle « nombre négatif » n'est qu'un objet mathématique qui ne peut pas être mis en rapport avec une grandeur physique. J'estime que ceux qui considèrent que les nombres négatifs et, pire, les nombres complexes (baptisés encore imaginaires !) existent se trompent car ils confondent l'arsenal théorique et la réalité. Ce n'est pas parce que nous savons manipuler des concepts au demeurant indispensables à notre connaissance du monde que ces concepts sont d'office des composants du réel.
D'après la symétrie décrite, l'étendue de l'échelle logarithmique est aussi grande du côté des nombres supérieurs à 1 que du côté des nombres inférieurs à 1 (compris entre 0 et 1), ce qui revient à dire, en langage courant, qu'il y aurait autant de nombres entre 0 et 1 qu'il y en a au-delà de 1, entre 1 et l'infini... Cela peut paraître étrange car à première vue l'intervalle (0,1) a l'air bien plus restreint que l'intervalle (1,). Or, c'est pourtant la vérité, une vérité reflétant la façon incontournable de mesurer du physicien lorsqu'il explore le plus grand et le plus petit.
Pour ce faire, le physicien ne procède pas en effet par additions ou soustractions successives, opérations qui conduiraient immanquablement, on le comprend vite, à des nombres négatifs en passant par la valeur 0. Il agit par multiplications et divisions successives. Autrement dit, le scientifique examine des rapports (à l'aide de ses logarithmes) et découvre alors le même caractère d'infinitude potentielle du côté des grands nombres (des grands rapports) que du côté des petits nombres. En effet il pourra toujours multiplier tel nombre, mettons par 10, pour en obtenir un plus grand et diviser tel autre nombre par ce même 10 pour en obtenir un plus petit. Cette possibilité est très exactement la définition de l'idée d'infini que nous avons donnée. Remarquons incidemment qu'on ne peut même pas dire qu'en considérant des nombres de plus en plus grands nous nous rapprocherions de quelque frontière lointaine car, au-delà de tout nombre, quelque grand qu'il soit, il y a toujours autant de place disponible !
Dernière remarque capitale : le zéro et l'infini occupent sur cette échelle des places rigoureusement symétriques et sont donc assimilables l'un à l'autre.
Les résultats que j'ai énoncés conduisent à réviser les idées que certains, considérant que cet objet serait un nombre comme un autre, pourraient se faire sur le « zéro ». Car, physiquement parlant, n'ayant pas de logarithme, zéro n'est pas un nombre. Sur l'échelle logarithmique la « valeur » 0 se trouve hors de portée puisque, lorsqu'on considère des quantités de plus en plus petites en espérant se rapprocher de cette valeur, leur logarithme devient de plus en plus grand en valeur absolue. (Le mathématicien énonce que la fonction logarithme n'est pas définie pour la valeur zéro et qu'elle tend en ce point vers moins l'infini.)
Cependant, affirmer que le zéro est inaccessible n'est-il pas en contradiction avec le fait que nous le mentionnons souvent dans la vie courante, lorsque par exemple nous parlons d'une vitesse ou d'une distance nulle ? La méthode de mesure par logarithmes est-elle vraiment adéquate ? Le physicien ne se trompe-t-il pas ? La réponse est catégorique ; il est impossible de changer d'échelle car c'est la seule qui permette de jauger les nombres qui mettent la science en relation avec le réel. Il faut donc nous « résigner ». Sur cette échelle zéro ne possède pas de logarithme, et ne sera donc jamais mesuré.
Le concept de « zéro » est doté du même statut, symétriquement, que celui de l'infini positif. Ni l'un ni l'autre ne correspondent à des quantités mesurables. Par conséquent ces notions, qui ont certes un sens en mathématiques, ne peuvent être mises en relation avec rien de concret, rien de réel. J'insiste à dessein sur la portée de ces conclusions inéluctables car elles sont parfois oubliées des scientifiques eux-mêmes, certains prétendant qu'ils pourraient manipuler ou mesurer le zéro ou l'infini. Ainsi entend-on parler de masse nulle à propos de neutrinos; ainsi entend-on qualifier l'Univers d'infini. Mais étant donné les connotations métaphysiques attachées à ces notions non anodines (zéro : le néant; infini : Dieu), il existe un danger de propager à tort (à cause d'une science mal interprétée ou carrément fallacieuse) des contrevérités, danger en face duquel il est important et urgent de rétablir la vérité.
Ceux qui prétendent l'univers infini, je les prends au mot. Si l'Univers est infini, cela voudrait dire que quel que soit l'ordre de grandeur de la région que l'on aurait pu explorer ou du moins caractériser, il serait possible d'étendre cette connaissance à une dimension supérieure. Or, à supposer que nous ayons pu progresser jusqu'à 20 milliards d'années de lumière, en montrant par exemple que l'Univers est homogène sur cette échelle, j'assure que rien ne nous permet de démontrer que nous pourrions appliquer cette connaissance à 10 fois 20, soit 200 milliards d'années de lumière ou à 2000 milliards. Affirmer le contraire serait purement et simplement infondé. Et serait faire preuve d'abus de pouvoir (scientifique !).
Parler de grandeurs physiques nulles ou infinies n'a pas de sens.


On peut concevoir en mathématiques des nombres gigantesques, notamment quand on calcule des probabilités. La fameuse histoire du singe au clavier d'une machine à écrire en est l'illustration. Cependant de tels nombres sortent du domaine de la réalité. 

Christian Magnan
Collège de France, Paris
Université de Montpellier II
Un résultat résume bien la situation concernant l'échelle du monde physique : quand on les représente sous forme de puissances de 10, les nombres que les physiciens manipulent ont des exposants se situant, grosso modo, entre -100 et +100. Autrement dit ces exposants comportent seulementdeux chiffres[1]. Par exemple le nombre d'atomes dans l'Univers visible est de l'ordre de 1080 et le plus petit temps imaginable (ou temps de Planck) vaut 5×10-44 seconde.
Ce trait de l'échelle physique, de s'étendre sur deux centaines de puissances de 10 successives, alors que, nous l'avons vu, l'échelle mathématique est infinie, a une conséquence importante : certains nombres fabriqués par notre raisonnement, comme ceux déduits par exemple d'une formule décrivant une expérience imaginaire, sont à même de dépasser l'échelle pratique et de la dépasser tellement qu'ils ne peuvent plus s'appliquer à rien de réel. Dans ce cas, le danger existe d'identifier l'une à l'autre les deux échelles juxtaposées : l'échelle mathématique et l'échelle physique réelle. Je parle de « danger » de confusion car des conclusions relatives au monde mathématique peuvent se révéler totalement fausses dans le monde de la réalité et nous induire en erreur dans notre réflexion sur le rapport entre ce que nous calculons par notre esprit et ce à quoi nous l'appliquons. Par exemple des nombres obtenus comme solutions d'un problème imaginaire et qualifiés à juste titre d'incommensurables, physiquement, car n'ayant pas le moindre rapport avec un phénomène réel, sont transposés à tort par certains dans le monde existant.
Vous avez peut-être entendu parler de ce problème imaginaire[2] d'un singe tapant sur le clavier d'une machine à écrire de façon aléatoire. Or si tout le monde s'accorde pour considérer comme extrêmement faible les chances de réussite du singe, certains prétendent qu'à la longue l'animal serait « capable » de produire une oeuvre littéraire, par exemple celle de Victor Hugo. Je vais montrer ici que cette assertion est totalement fausse et qu'en réalité le singe n'a aucune chance de réussir.
Pour vous donner une idée de la situation réelle, allez donc voir des textes de la « bibliothèque de Babel » obtenus par frappe aléatoire. Parmi eux vous ne rencontrerez aucune suite de lettres ne représentant un vrai mot. Cet exemple peut nous faire réfléchir. Essayons donc de décortiquer le problème.
Considérons l'ensemble de tous les textes possibles comportant le nombre de signes voulu. Comme le singe tape au hasard, il est susceptible de produire l'un quelconque de ces textes, aucun texte n'ayant plus de chance de sortir qu'un autre, chacun étant aussi probable que les autres. Le problème revient alors à déterminer le nombre total de textes possibles, pour savoir parmi combien d'éventualités le hasard va opérer. Si n textes différents sont possibles, nous en déduirons que le singe a une chance sur n de produire un texte fixé à l'avance. Il est donc équivalent de raisonner sur le nombre total n de textes possibles (par exemple mille milliards) ou sur la probabilité d'obtention d'un texte particulier (à savoir 1/n, par exemple dans ce cas une chance sur mille milliards). Selon les besoins il sera plus commode de parler de l'une ou de l'autre quantité.
Calculons les nombres en cause. Pour fixer les idées, disons que la machine met à la disposition du singe 35 signes différents (en ajoutant aux 26 lettres de l'alphabet les signes de ponctuation, l'espace et les lettres accentuées). Dans ces conditions, parmi les 35 possibilités offertes, la probabilité de taper correctement la première lettre, mettons le « i » de « il était une fois », est de une chance sur trente-cinq, ou 1/35, ou encore 35-1, à la façon dont nous avons écrit ailleurs 1/10 sous la forme 10-1. La probabilité que notre singe obtienne du premier coup deux lettres justes, celles qui composent le mot « il », sera, elle, 35 fois plus faible. En effet, il s'agit de taper correctement la première, avec une chance sur 35, puis de taper correctement la seconde, avec une nouvelle fois une chance sur 35. Le résultat est une chance sur (35×35) ou 35-2. Ce qui se passe, c'est que le nombre de possibilités de textes de deux signes est passé de 35 (cas d'une lettre) à 35 fois 35 (ou 1 225). Ainsi on trouvera dans ces possibles les textes « ia », « ib », « ik »... « iz », parmi lesquels un seul, « il », « i » suivi de « l », conviendra.
La suite du calcul est facile à conduire : chaque fois qu'on considère une lettre de plus, le nombre de textes différents possibles est multiplié par 35. Partant, la probabilité d'obtention du texte juste en un essai est divisée par 35. Les valeurs numériques successives peuvent s'obtenir simplement sur une calculette. Il suffit de s'amuser à faire une série de divisions (ou de multiplications) successives par 35, en partant de 1. Faites l'expérience et vous constaterez que la probabilité décroît à un rythme incroyablement rapide tandis que le nombre de textes augmente terriblement vite. Pour l'obtention de seulement huit signes justes (par exemple : « il était »), la probabilité de réussite tombe à moins de 5×10-13 pour un nombre de textes différents de plus de 2×1012 : une chance sur quelques milliers de milliards.
Mathématiquement, l'opération revient tout simplement à calculer, pour la chance de réussite, les puissances négatives successives de 35, soit 35-1, 35-2, 35-3, etc., ou, pour le nombre de possibilités, les puissances positives successives, 351 (soit 35 tout court), 352, 353, etc.
Sur une calculette on peut calculer directement, sans passer par les termes qui la précède, la valeur relative au rang n (c'est-à-dire à un texte de n signes) en utilisant la fonction dite « exponentielle » notée en général yx. Dans le cas présent vous entrerez pour y la valeur 35 et pour x la valeur n (le nombre de signes du texte que le singe cherche à taper). Ainsi, pour le texte « il était une fois », de 17 signes (dont trois espaces), vous trouverez qu'il existe environ 2×1026 textes différents de 17 signes (autant que le nombre de secondes dans 5 milliards de milliards d'années...) de sorte que la probabilité de voir le singe taper du premier coup la phrase « il était une fois » est seulement de une chance sur ce nombre gigantesque de 26 chiffres, soit une chance quasi infinitésimale de 5×10-27.
Les calculs décrits nous font nous déplacer sur une échelle logarithmique. La différence, mineure, avec les logarithmes que nous avons présentés ailleurs concerne la « base » de l'échelle. Alors qu'il s'agissait des puissances[3] de 10, nous avons maintenant affaire aux puissances successives de 35, le nombre de signes différents sur le clavier. Mais les propriétés de l'échelle demeurent les mêmes. En particulier, comme les exposants que nous manipulons représentent le nombre de lettres à taper et qu'une simple ligne de texte ordinaire en comprend déjà quelque quatre-vingt, ces exposants vont pouvoir dépasser, et de loin, ceux de l'échelle réelle puisque ces derniers restent, nous l'avons rappelé au début, grosso modo inférieurs à 100[4]. Comme une page comptera des milliers de signes, qu'un livre avoisinera le million et que l'oeuvre d'un écrivain pourra compter des dizaines (ou centaines) de millions de signes, les nombres s'écrivant avec de tels exposants sortiront sans conteste possible (et de très loin !) du monde de la réalité.
L'erreur d'appréciation de la situation réelle, de la part de ces personnes qui surestiment la portée de la théorie, est liée à la facilité déroutante avec laquelle le symbolisme mathématique traite de tels nombres. Pouvoir écrire que la probabilité que le singe obtienne au hasard l'oeuvre de Victor Hugo est 35-10 000 000 est trompeur dans sa simplicité ! En effet, s'il faut saluer le mérite de cette science abstraite - la mathématique - de pouvoir si aisément calculer une telle quantité et de l'utiliser dans un raisonnement, il faut se garder de croire que le fait de l'avoir écrite lui donne d'office caractère de réalité. Si ces mathématiques peuvent jouer avec de tels nombres, en revanche, dans le monde réel, il est tout à fait impossible de s'en servir.
L'argument fallacieux souvent avancé par ceux que j'appellerais volontiers les « imposteurs du singe » est que la probabilité écrite, bien que faible, n'est pas nulle. Certes ! Mais on sait bien que la fonction exponentielle 10-n n'est jamais nulle mathématiquement parlant. Il n'y a donc pas lieu de s'extasier devant cette vérité tout simple et d'en tirer des conclusions abusives ! Ce truisme est sans conséquence sur la question de l'adéquation du nombre au réel car, s'il est trop petit, un nombre, même non nul, perd tout sens physique. Imposer tacitement l'idée que tout nombre, aussi petit soit-il, puisse exprimer un fait réel du moment qu'il n'est pas nul relève de la pure mystification.
La probabilité discutée (qu'un singe écrive au hasard un livre donné), du fait qu'elle sort de l'échelle des nombres expérimentaux, se comporte en pratique comme une probabilité complètement nulle. Entendons par là que l'événement considéré ne se produira jamais en pratique. Par conséquent, on ne peut pas se référer à cette expérience imaginaire pour en tirer des conclusions relatives au monde réel. Les récréations mathématiques n'ont pas forcément d'applications directes.
La science ne peut pas prétendre faire écrire au singe ce qu'il n'écrira jamais.
Pour aller rapidement à l'essentiel, je me suis placé dans le cas où le singe n'avait droit qu'à un seul essai. Mais, comme la probabilité de réussite est négligeable, les auteurs de l'expérience virtuelle sont inévitablement amenés à envisager de multiplier le nombre de singes et le nombre d'essais par singe. Hélas! cette technique ne peut rien changer au résultat, pour une raison toute simple. On comprend aisément que pour obtenir une chance non négligeable de réussite, il faut prévoir de produire en gros tous les textes théoriquement possibles. Autrement dit, il faut imaginer un nombre total d'essais du même ordre de grandeur que le nombre total de textes possibles[5]. Nous sommes donc confrontés à la même impossibilité de réaliser l'expérience en pratique puisque ce nombre, nous l'avons montré, dépasse la puissance du réel. Pour produire un total de 3510 000 000 frappes, il faudrait considérer des singes mathématiques qui n'auraient rien de physique avec notamment des capacités (relativement à la vitesse de frappe par exemple) qui transcenderaient tout ce qui concerne notre monde réel; sans compter la quantité de papier et les moyens d'impression nécessaires ! La conclusion concernant l'impossibilité radicale d'écrire un livre par hasard est donc toujours valable.
En fait, paradoxalement, ce sont les mêmes mathématiques qui à la fois ont imaginé une expérience et à la fois ont permis (à condition d'être correctement interprétées) de conclure à l'impossibilité de la réaliser en pratique. 
La parabole du singe au clavier nous a montré que certains événements pouvaient avoir une probabilité d'occurrence si faible qu'ils ne possédaient aucune chance de se produire concrètement, le nombre d'essais nécessaires dépassant les possibilités réelles.
Et si l'apparition de la vie entrait dans cette catégorie de phénomènes ?
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